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大致上，数字有三种用场，而其中两种是量度的。第一种非量度的，是数字可用作鉴辨。例如你到马场赌马，每只马的身上都有一个数字，如七号、三号等。这些数字不论大小、快慢，ｗωｗ奇書网而是作为鉴辨之用。买七号马，跑胜了你就去收钱。
数字其它的两个用场，是关于量度的了。有两种量度，因为数字量度可以有两种排列。一种排列的数字是可以加起来的，叫作基数量度（Cardinal measure）；另一种数字只可以排列，但不可以加起来，叫作序数量度（Ordinal measure）。
一尾鱼是两磅，一只鸡是三磅，二者加起来是五磅。磅是基数，你要找一条八尺长的绳子，找不到八尺的，把三尺的与五尺的加起来，就是八尺。尺也是基数。凡是基数量度，都可以作线性转移（Linear transformation）。举个例：温度的华氏是基数量度，摄氏也是基数量度，知道华氏的度数，我们可以方程式求得摄氏的度数，万无一失。磅与公斤，码与公尺，皆可以作线性转移的。
量度功用的一个困难，是功用不一定可以加起来。一磅面包的功用数字是四，一安士牛油的功用数字也是四，二者同吃，其功用数字会大于八。一杯咖啡的功用数字是四，一杯茶的功用数字也是四，二者同喝，每杯的功用数字会小于四。那所谓可以相加的功用（Additiveutility），遇到互补物品（plements，如面包与牛油）或代替物品（Substitutes，如咖啡与茶）的情况，就有不容易解决的困难。
话虽如此，经济学者曾经下过不少工夫，意图以某种办法来使功用可以用基数量度，其中最精彩的，是二十世纪的数学大师温纽曼（J。 von Neumann，1903…1957，此公发明计算机结构）与经济学者摩根斯坦（O。 Mogenstern，1902…1977）合作写的《博奕理论与经济行为》一书，洛阳纸贵，在第二版（一九四六）中作者指出，在有风险的情况下，功用是可以用基数量度的。但这量度是需要四个假设才可以接受，而这四个假设中两个有问题。
第三节：费沙的贡献
今天，经济学者所用的功用数字，一般是序数量度。序数量度的数字不可以加起来，但可以排列次序。排列是量度。不能加起来的排列，数字与数字之间的差距不能相比。一○一比九十九大，九十九比八十九大。前者的差数是二，后者的差数是十，但因为不是基数量度，我们不能说后差数比前差数大五倍。
举些例子吧。香港小姐比美竞选，冠军八十八分，亚军八十二，季军七十九，名次是排列了。但我们不可以说，冠亚之别，比亚季之别大一倍。举另一个例，学生考试，老师武断地以分数排列。在加大作学生时，一位同学问老师，考试的积分是怎样算出来的。老师响应道：「考试的积分只是武断排列，不这样做的老师会因为太蠢而不能在加大任教职。」考试的积分是序数量度。
以序数排列功用，在逻辑上没有问题。说某人取甲而舍乙，是因为甲的功用数字大于乙，而若附带的局限条件处理得恰当，某人的行为就被解释了。但以序数量度功用，我们无从知道甲与乙的数字差别代表什么，也不知道这个人的总功用数字有什么用途。十多年前一位香港中学生的父亲给我电话。他说儿子考试，老师问及总功用（Total utility）的用途，儿子答不出来，因而不及格。这位父亲问答案，我反问：「你的儿子真的不知吗？」「不知。」「那你的儿子比老师知得多了！」
一八九二年，后来成为二十世纪最伟大经济学者的费沙（I。 Fisher，1867…1947）发表了他的博士论文，部分是关于功用理论的。那是一本天才横溢的书，而其中的一个重点，是从解释行为那方面看，基数排列功用是不需要的。这是因为在边际上，基数排列与序数排列没有什么不同，而解释行为单看「边际」就足够了。「边际」功用是指多一点物品或少一点物品所带来的功用数字转变。从边际上看，没有什么需要加起来，也无需比较功用数字的差距。
解释行为只须从边际的变量入手的论点，始于W。 S。 Jevons（1835…1882），重于费沙，而后继有人。一九四六年史德拉指出，要是一个生产过程同时造出两种产品，每种产品的平均成本我们无法知道，但边际成本的变动我们是知道的。以解释生产的行为来说，我们是不需要知道平均成本的。
后来我作交易费用的研究，就单从边际的变动入手。在真实世界中，交易费用不容易量度。可取的解释行为的办法，是判断在不同的情况下交易费用会变高还是变低。变动是「边际」，而假若没有变动，行为是不能被解释的。以边际变动的方法来处理交易费用，费用的量度是基数还是序数没有分别，而我们不能说基数量度比较精确，因为量度的精确性是观察者的认同性，而不是数字的详尽性。
让我再说一次吧。功用只不过是武断地以数字排列选择的随意定名，用以解释人的选择行为。这是我的老师艾智仁说的。史德拉说：「无论我们假设一个人争取最大的是财富，是宗教虔诚，是消灭唱情歌的人，或是自己的腰围阔度，对严谨的需求理论来说，是毫无分别的。」史托斯（R。 H。 Strotz）说：「很明显，我们无需判断功用的量度是以金钱，或以散漫的时日，或以八度和音，或以英寸来支持，而我们更无需认为功用的量度是一个心理上的单位。」这些是二十世纪五十年代的智能了。
（《经济解释》之十五）
第四节：替换定理与等优曲线
在第一章我们谈及，以理论解释行为，行为一定要受到理论的约束。在局限下争取个人的最大利益是一个约束，而有了功用的理念，就变为争取最高的功用数字了。这约束是一个定理或公理（Postulate），但解释不了多少人的行为。说一个人做什么都是争取较高的功用数字，是套套逻辑，加以局限条件的变化，我们能推断的只是一样经济物品增加而其它物品没有减少这一类的选择。
替换定理（Postulate of substitution）补加了约束，因而增加了解释行为的范畴。这个定理是这样说的：每一个人都愿意牺牲任何物品来换取任何其它物品。你同意不同意？你愿意不愿意以自己的生命来换取一碗鱼蛋粉？这定理说你是愿意的。只要你牺牲的够少，而换得的够多，你就愿意。
你走过马路去吃鱼蛋粉，是冒一点点生命之险而去的——车祸的风险不是零。像其它父亲一样，我愿为自己的儿女付出很大的代
价——这是爱。但为了工作，我与儿女相聚的时间不多——这是爱与生计的替换。
不要说因为你是个有原则的人，有些原则上的事你半步也不退让。人各有价，我自己的灵魂是可以出售的。叫价颇高，但假若你给我很大的「好处」，而我只须放弃微不足道的原则，那我就跟你成交了。这是替换。
因为每个人都愿意替换，功用分析就创造了那有名的「等优曲线」（Indifference Curve——历来译作「无差异曲线」，既乏文采，也不正确）。因为愿意舍甲而取乙，我们在甲乙两种经济物品之间很容易找到一条曲线，在这线上的每一点功用数字相同。「等优」是指功用数字相同，每一点不分彼此地同样可取。这曲线一定是向右下倾斜的。此线于是成为一条分水岭，凡是线之右上的每一点，皆比线上的每一点有较高的功用数字，较为可取，而线之左下每一点却相反。
在约束行为上等优曲线增加了用场。两样经济物品，人的选择不需要甲、乙皆增，或甲增而乙不减，才算是优胜可取：一增一减可能是优胜的。
等优曲线有无限多条，二线永不相交，而右上的每一线的功用数字都必定比左下的每一线为高。
第五节：内凸定理
我们可以安全地再增加行为的约束。这就是等优曲线一定是内凸（向左下弯曲）的，像《水浒传》中的小李广花荣的「弯弓如满月」地向左下角弯之。（是打趣，不一定很弯，微弯也及格了。）这个约束（等优曲线不是直线也不向外凸）叫作「内凸定理」（Convexity postulate）或「边际替换意图下降定理」（Postulate of diminishing marginal rate of substitution）。
含意明显不过。假若功用数字不变（在同一等优曲线上），一个人拥有的甲物品愈多，其愿意以乙物品替换甲物品的意图就必定下降。这个定理安全可靠，但替换要在同一的等优曲线上。要是这个人的财富或收入增加，跳到功用数字较高的等优曲线，边际替换的意图就可能改变了。这是功用分析对行为推断的一个大难题，使理论结构失却了对行为的一个最重要的约束。此是后话，按下不表。
回头说以同一等优曲线来推断行为，内凸定理有一个结论，可惜用场不大。这结论是，如果某物品的价格下降，这物品的需求量就必定增加。这是因为价格永远是相对的，说某物品的价格下降是指需要付出的其它物品的代价下降了。这样，边际上的替换意图下降就会促使价格下降的物品增加了需求量。
困难是等优曲线与其功用数字是空中楼阁，是经济学者想出来的脑中之物，真实世界没有这条曲线，所以我们无从知道一种物品的价格下降，人的选择是否还在同一曲线上。逻辑的推论是：价格下降，对一个消费的人来说，实质的收入会增加，所以这个消费者会跳到较高的等优曲线上去。更上一层楼，替换的边际意图可能改变了，那怎么办？
第六节：贫穷物品与嘉芬反论
经济学上Inferior good一词，香港的教育权威译作「次选货品」，错！国内译作「低档物品」，也错，但比较好一点。我译之为「贫穷物品」，大为不雅，却是对的。
什么是贫穷物品呢？我的收入不高，喝啤酒，但昨天赌马赢了十万元