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不能给这些符号下明确的定义。在其它情况下，我们可以给这些符号许多不
同的意义，所有这些意义都能使这个公式为真。在前一种情况下，我们对于
公式连一种确定解释也没有，而在后一种情况下，我们的解释却有许多种。
这种看来似乎奇怪的情形发生在纯粹数学和数理物理学中；这种情形甚至发
生在对于“我房间里有三张桌子和四把椅子”这类常识性叙述所做的解释中。
所以看来有一大类叙述，在某种意义上说，我们对于其中每一个叙述的真实
性比对它的意义知道得更为确切。“解释”就是对于这类叙述来说的；它的
作用在于给一个属于这类的叙述找出尽可能确切的意义，有时则给它一整组
可能出现的意义。
让我们先从纯粹数学中找个实例。人类很久以来就相信2＋2＝4；他们
对此确信的程度使它成了表示完全确定的事物的最常用的例子。但是如果人
们被问起“2”“4”“＋”和“＝”是什么意思，他们就会作出含糊和不同
的回答，这就足以说明他们并不知道这些符号所表示的意思。有人认为我们
是通过直观认识每个数的，因而没有给它们下定义的必要。如果我们所谈的
是较小的数，这种说法似乎还有些可信，但是有谁能对3，478，921 有直观
的认识呢？所以他们说我们对于“1”和“＋”有直观的认识；这样我们就能
把“2”定义为“l＋1”，把“3”定义为“2＋l”，把“4”定义为“3＋ l”，。。
照此类推。但是这个办法并不是很成功的。它使我们能够说2＋2＝（1＋l）
＋（l＋l）和4＝｛（l＋l）＋l｝＋1，然后我们还需要一种新的直观告诉
我们可以重新安排一下括号，事实上也就是让我们相信如果ｌ，ｍ，ｎ”是
三个数，那么（ｌ＋m）＋n＝ｌ＋（ｍ＋ｎ）。有些哲学家在必要时能够得
出这种直观，但是大多数人对这些哲学家所说的话仍然有些怀疑，觉得有必
要找寻某种另外的方法。
对于我们的解释问题更有直接关系的一个新的发展是由皮阿诺创始的。
皮阿诺从三个未下定义的名词“0”，“有限整数（或数）”，和“后继”出
发，对于这三个名词他作了下面五个假定：
1。0 是一个数；
2。如果a 是一个数，那么a 的后继（即a＋1）是一个数；
3。如果两个数有相同的后继，那么这两个数等同；
4。0 不是任何数的后继。
5；如果S 是一个集合，0 属于S，并且每个属于S 的数的后继也属于S，
那么每个数属于S。
这些假定中最后一个就是数学归纳法原理。
皮阿诺表明他能用这五个假定证明算术中的每个公式。
但是现在又出了一种新困难。一般认为，我们无需知道“0”，“数”和
“后继”的意义，只要我们认为它们能满足这五个假定就行。但是这样就出
现了无限多可能的解释。比方说，让“0”表示我们平常所说的“1”，让“数”
表示我们平常所说的“0 以外的数”；那么这五个假定仍然是真的，全部算
术也可以得到证明，虽然每个公式将得到出人意料的意义。“2”的意义就是
我们通常所说的“3”，但是“2＋2”的意义却不是“3＋3”；它的意义将是
“3＋2”，而“2＋2＝4”的意义将是我们通常用“3＋2＝5”所表示的意义。
同样，我们可以在假定“0”的意义是“100”，而“数”的意义是“大于99
的数”的基础上来解释算术。还有其它等等。
只要我们不越过算术公式的范围，所有这些对于“数”的不同解释都同
样令人满意。只有在我们列举数目、涉及数在经验界的用途时，我们才有理
由选择一种解释而舍弃所有另外的解释。如果我们去一家商店买东西，店员
告诉我们说“三先令”，他所说的“三”就不是一个单纯的数学符号，表示
“某一系列开头以后的第三项”；他所说的“三”事实上是不能由它的算术
性质来下定义的。显然。在算术范围以外，他对于“三”的解释比起皮阿诺
系统所允许的一切解释都要好。象“人有10 个手指”，“狗有4 条腿”，“纽
约有10，000，000 个居民”这类叙述，它们所需要的数的定义是不能只从这
些数能满足算术公式这件事实得出来的。所以这样一种定义是对数字符号的
最令人满意的“解释”。
只要数学应用到经验材料方面，同样的情况就会发生。拿几何学来说，
我们不是把它当作从任意假定的公理通过演绎得出结论的一种逻辑练习，而
是把它当作在测地、制图、工程或天文学上的一种帮助。几何学的这些实际
用途必然会产生一种困难，这种困238 难虽然人们有时表面也承认，但却从
来没有给予应有的重视。数学家在他们所提出的几何学中使用了点、线、平
面和圆，但是自然界中找不到这类东西早就成了一句俗话。在我们通过把面
积分为若干三角形的办法进行测量的时候，一般承认我们的三角形的边既不
是精确的直线，顶点也不是精确的点，但是这一点却被三角形的边近似直线，
顶点近似点这种说法给掩盖过去了。这句话的意思一点也不清楚，只要人们
认为我们的粗糙的直线和点所近似的那种精确的直线或点并不存在的话。我
们的意思可能是说可以感知的直线和点具有近似欧几里德的定义和公理所说
的那些性质；但是除非我们能够说出，在一定限度之内，这种近似达到什么
程度，这样一种看法就将把计算弄得意义含混不清和不能令人满意。这个数
学上的精确性和感觉上的不精确性的问题是一个很老的问题，柏拉图曾经用
奇怪的回忆说来解决它。到了近代，同一些其它没有解决的问题一样，人们
由于熟悉而忘记了它，正象人鲍鱼之肆久而不闻其臭一样。显然如果我们能
够把几何学应用到感觉世界上来，我们必须能够通过感觉材料来给点、线、
面等下定义，否则我们就必须能够从感觉材料推论出具有几何学所需要的那
些性质的未曾被人知觉过的实体的存在。找出多种或一种方法，来完成这些
目的当中任一个目的就是对于几何学做出经验性质的解释的问题。
另外还有一种非经验性质的解释，这种解释把几何学留在纯粹数学的范
围之内。所有按顺序排定的三个实数组成的集合构成一个三度的欧几里德空
间。通过这种解释，全部欧几里德几何都能由算术演绎出来。人们可以证明
欧几里德几何以及每一种非欧几里德几何都可以应用到具有与实数项数相同
的每一种集合上去；关于几度以及得出的几何学是欧几里德几何还是非欧几
里德几何的问题要由我们所选择的顺序关系来决定；（从逻辑意义上讲）存
在着无限多的顺序关系，只是由于经验上的方便才使我们选择其中一种特别
加以注意。一位工程师或物理学家在考虑最好采取纯粹几何的什么样的解释
时，所有这些都是有点宏旨的。它表239 明就一种经验性质的解释来说，不
仅是按顺序排定的项自，就是顺序关系也必须通过经验界的事物给出定义。
非常类似的说法也适用于时间，而就我们目前所讨论的问题来说，时间
并不是象空间那样困难的问题。在数理物理学中，时间被认为是山瞬间组成
的，尽管人们告诉弄得困惑不解的学生，可以把瞬间当作数学上的虚构。从
来没人告诉他为什么虚构有用，或者虚构怎样与非虚构的东西互相关联。他
发觉通过使用这些童话故事可以计算实际发生的情况，以后大概他也就不再
追究所以然的原因了。
人们并不总是把瞬间看成虚构的东西；牛顿认为瞬间是和日月同样“真
实”的东西。在人们抛弃了这种看法之后，很容易走到另一个相反的极端，
忘记了有用的虚构不大可能只是一种虚构。有不同程度的虚构。现在让我们
把一个单独的个人看成完全不是虚构的东西；那么我们将怎样看待他所属的
那些不同的人的集合呢？大多数人恐怕不会把家庭看成一个虚构的单位，但
是人们怎样去看待一个政党或是一个板球俱乐部呢？对于我们假定那个单独
的个人所属的叫作“斯密土”的人的集合，我们将怎样看待呢？如果你相信
占星学，你就会特别重视在某一个星辰下降生的人的集合；如果你不相信占
星学，你就会把这样一种集合看成一种虚构。这些区别并不是逻辑上的区别；
从逻辑的观点来看，一切由个体组成的集合都是同样真实或同样属于虚构的
东西。这些区别的重要性在于实际方面，而不在于逻辑方面：有一些集合我
们可以对它们说出许多有用的话，而另外一些集合却不是这样。
如果我们说瞬间是有用的虚构，那么人们必然认为我们的意思是说，我
们愿意对有些实体就象对于个体的人一样给予高度的“真实性”（不管它的
意思怎样解释），并且认为和它们比较起来，瞬间具有板球俱乐部对于其成
员所有的那较小程度的“真实性”；但是我们也愿意说对于瞬间，也和对于
与“人为的”人的集合相对而言的家庭一样，有许多实际上重要的话可讲。
所有这些在意义上都非常含混，而解释的问题就是用精确的240 东西加
以代替的问题，永远已住不管我们给“瞬间”下什么定义，它必须具备数理
物理学所要求的那些性质。如果两种解释都能满足这个要求，那么在它们当
中进行选择就取决于我们的喜好和方便；并不存在一种解释是“对的”而其
它各种解释是“错的”这个问题。
在古典物理学中，技术上的一套工具是由点、瞬间和质点组成的。人们
假定存在着一种三项关系，那就是在某一瞬间占有某一点，而在某一瞬间占
有某一点的东西叫作一个“质点”。在技术方面人们还假定质粒是不能毁掉
的，所以凡是在一定瞬间占有�