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，①我却不能得到安慰。
坎特证明没有最大的基数。我是把坎特的这个证明细想了一番之后，发现了上述的那个矛盾的。我脑筋简单，以为世界上所有的事物的数目一定是可能有的最大数目了。我把他的证明用于这个数目，看一看怎么样。这个办法使我考虑一个特殊的类。
我顺着以前看起来好象是适当的路线去思索，
①译者按：此句原出勃朗宁的诗《失去的领袖》。
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《数学原理》：哲学方面３７
我觉得一个类有时候是，有时候又不是它自己的一个项。举例来说，匙子这个类不是另一个匙子。但是，不是匙子的那些事物的这个类却是不是匙子的那些事物之一。似乎有些例子不是负的：例如，所有类这个类是一个类。把坎特的论证加以应用，使我考虑不是自己的项的那些类。好象这些类一定成一类。我问我自己，这一个类是不是它自己的一项。如果它是它自己的一项，它一定具有这个类的分明的特性，这个特性就不是这个类的一项。
如果这个类不是它自己的一项，它就一定不具有这个类的分明的特性，所以就一定是它自己的一项。这样说来，二者之中无论那一个，都走到它相反的方面，于是就有了矛盾。
最初我以为在我的推理的里面必是有怎么一种小小的错误。在一种逻辑的显微镜下我检查了每一步，可是我发现不出有什么不对来。我给弗雷格写了一封信，把这件事告诉了他。他回答说，算术发生了动摇，他并且说，他看出他的第五个定律是不能成立的。这个矛盾使弗雷格十分烦恼，他放弃了从逻辑演绎出算术的企图，直到那个时候为止，他本是一生致力于此的。就象遇到无理数的毕达哥拉斯的门徒们一样，弗雷格逃到几何学里去了，显然他以为直到那个时候，他一生的事业是走错了路。
至于我呢，我觉得毛病是在逻辑，而不在数学，逻辑非加以改造不可。由于发现了一个秘诀，我的这个意见得到了证实，用这个秘诀可以制造出简直是无限数目的矛盾来。
对于这个情形，哲学家和数学家们有各种不同的反应。
班格莱是不喜欢数理逻辑的，他曾非难数理逻辑，以为它是不
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４７第 七 章
能有结果的。他高兴地说：“它不是不能有结果的了，它产生了矛盾。”这话的确是很好，但是并不能解决问题。一些别的不赞成佐治。坎特的数学家采取三月兔的解决办法：“这个我腻烦了，我们还是换个题目罢”。我觉得这也不妥当。但是后来有些人认真想解决这个问题，那些人懂得数理逻辑，并且知道确有用逻辑解决的必要。
其中第一个人是Ｆ。
Ｐ。
莱穆塞。
不幸他死得早，没有完成他的工作。但是在《数学原理》出版以前的那些年，我不晓得后来对解决这个问题所做的努力。
我实际上是独自在那里纳闷。
有一些更老的悖论（其中有一些是为希腊人所知道的）
我觉得引起了类似的问题，虽然我以后的一些作者认为这些悖论是另外的一种。其中最著名的是那个关于克利特人艾皮米尼地斯的悖论。他说所有的克利特人都是说谎的人。这就使人问，他说这话，他是不是不说谎。如果一个人说：“我是说谎呢”
，这就是这个悖论所表现的最简单的形式。
如果他是说谎，那么他是说谎就是一个谎，因此他就是说实话；但是如果他是说实话，他就是说谎，因为那是他说他正在做的事。
这样，矛盾就是不能避免的。
圣保罗曾经提到过这个悖论①。
可是他对于这个悖论的逻辑方面并没有兴趣。
他所感兴趣的是，这个悖论证明异教徒是坏的。但是数学家们可以把这些难以索解的问题打发开，以为是和他们的科目毫无关系，虽然他们不能把是否有一个最大的基数或最大的序数这些问题置之于不顾，这两个问题都使他们陷入矛盾。关于最大序数的矛
①《新约。提多书》第一章第二十节。
（译者按：应作第十二节）。
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《数学原理》：哲学方面５７
盾是在我发现我的矛盾之前被布拉力福尔提发现的。但是他的这件事是复杂得多，因此我也就以为在推理上是有些小小的错误。
无论如何，因为他的矛盾远不象我的矛盾那么简单，乍一看来好象摧毁的力量不是那么大。可是，结果我不得不承认其严重是一样的。
在《数学的原理》里我并没有公然说我已经找到了一个解决的方法。
我在那本书的序言里说：“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书，我的解释是，经过研究，在第十章中所讨论的矛盾，我看不出最近有得到适当解决的希望，对于类的性质最近也没有希望看得更深更透。有些解决的办法曾使我得到一时的满足。后来常常发现这些解决的办法是有错误的。这种发现使人觉得，好象是较长时间的思索也许可以得出一些表面看来是满意的学说，有了这些学说，问题就显露不出来了。因为这个道理，只把困难说出来，比等下去一直到我相信一个几乎一定是错误的学说中有真理，好象是要更好一点。”在讨论矛盾的那一章之末我说：“上面所说的矛盾不包含特殊的哲学。这种矛盾是直接起源于常识。这种矛盾唯一解决的办法是放弃某种常识的假定。只有以矛盾为滋养的黑格尔哲学才能不关心，因为它处处遇到与此类似的问题。在任何别的学说里，这样一个正面的挑战要求你做出一个答覆，否则就是自己承认没有办法。
幸而，就我所知，在《数学的原理》的任何别的部分，没有别的与此类似的困难出现。“
在书后的附录里我提出类型说可以给予一个言之成理的解释。最后我深信这个学说会解决这个问题，但是在我从事写作《数学的原理》的时候，我只把这个学说弄得粗具规模。
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６７第 七 章
这个学说在此情形之下是不能胜任的。我在那个时候所得到的结论表现在这本书的最后一段里：“总括起来说，看来第十章的那个特别的矛盾是被类型说解决了。只是，至少有一种很类似的矛盾大概是不能用这种学说解决的。看来所有逻辑的对象或所有命题，全体包含一种基本的逻辑上的困难。这种困难的完满解决是什么，我还没有发现到；但是因为它影响推理的基础，我恳切盼望所有治逻辑学的人对它加意研究。”
《数学的原理》写完之后，我准备决意对于这些悖论找到一个解决。我觉得这几乎是对我个人的一个挑战，而且，如果势不得已，我就要花掉我整个的余年来应战。但是有两个理由我以为这是极其不愉快的。第一，我觉得这整个问题是无足重轻的。我极不愿意把注意力集中在一件并不见得实在是有趣的事情上。第二，恁凭我怎么努力，我没有进展。一九○三年和一九○四年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。我第一个成就是一九○五年春季的叙述学说。这个学说我将在下文谈到。在表面上看，这是和这些矛盾没有关系的，但是后来一种没有想到的关系出现了。最后，我看得十分清楚，类型说的某种形式是极关紧要的。我现在不着重来讲在《数学原理》里讲到的那个学说的特殊形式。
但是我仍全然深信，没有这个学说的某种形式，这些悖论就无法解决。
正当我在寻求一个解决办法的时候，我觉得如果这个解决完全令人满意，那就必须有三个条件。其中的第一个是绝对必要的，那就是，这些矛盾必须消失。第二个条件最好具
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《数学原理》：哲学方面７７
备，虽然在逻辑上不是非此不可，那就是，这个解决应该尽可能使数学原样不动。
第三个条件不容易说得正确，那就是，这个解决仔细想来应该投合一种东西，我们姑名之为“逻辑的常识”
，那就是说，它最终应该象是我们一直所期待的。在这三个条件之中，第一个当然是大家所公认的。可是第二个是为一个很大的学派所否认的，他们认为分析的很大一部分是不正确的。那些以善用逻辑而自满的人以为第三个条件是不重要的。举例来说，奎尹教授曾制作出一些体系来。我很佩服这些体系的巧妙，但是我无法认为这些体系能够令人满意，因为这些体系好象专是为此创造出来的，就是一个最巧妙的逻辑学家，如果他不曾知道这些矛盾，也是想不到这些体系的。但是，关于这一个问题已经出现了大量而且很深奥的文献，其细微的地方我就不再多说了。
撇开困难的专门细节不谈，我们可以把类型说的梗概说一说。也许研究这个学说的最好的办法是考查一个“类”的意义是什么。我们先用一个平凡的例子来说明。假定饭后请你吃饭的主人在三种甜食里面请你挑选，要你吃一种或两种，或三种都吃，随你的意。你可以有多少办法呢？你可以都谢绝。这是一种办法。你可以在甜食之中取一种。这有三种不同的可能的办法，所以你又有三种选择。你可以选得甜食之中的两种。这又可能有三种办法。或者三种甜食你都要。这给你一个最后的可能性。这样说来，可能性的总数是八，也就是２３。不难把这个程序归纳成通则。假定在你面前有ｎ那么多的东西，你想知道在ｎ之中一个不选，或选几个，或者都要，一共有多少选择。你就要知道，办法的数目是２ｎ。用
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８７第 七 章
逻辑的语言来说：一个有ｎ项的类有２ｎ那么多的次一级的类。如果ｎ是无限的，这一个命题仍然是正确的。坎特所证明的是，